Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$），（A＞0，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+2，求g（x）的单调区间及最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据最小正周期为T=6π，求解ω，根据f（2π）=2．带入可得A的值，可得f（x）的表达式．
（Ⅱ）根据g（x）=f（x）+2可得g（x）的表达式，根据三角函数的图象及性质可得单调区间及最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵最小正周期为T=6π，即$\frac{2π}{ω}=6π$，
可得：ω=$\frac{1}{3}$．
∴f（x）=Asin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
又∵f（2π）=2，A＞0、
∴2=Asin（$\frac{1}{3}$×2π+$\frac{π}{6}$），
故得A=4．
∴f（x）的表达式为：f（x）=4sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+2，
∴g（x）=4sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+2
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
可得：6kπ-2π≤x≤π+6kπ
∴g（x）的单调增区间为[6kπ-2π，π+6kπ]，k∈Z
由$\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
可得：6kπ+π≤x≤4π+6kπ
∴g（x）的单调减区间为[π+6kπ，4π+6kπ]，k∈Z．
∵sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的最大值为1．
∴g（x）=4+2=6，
故得g（x）的最大值为6．

点评 本题给出正弦型三角函数的图象及性质，确定其解析式时关键，属于中档题．