Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（x-2a）（a-x），x≤1\\ \sqrt{x}+a-1，x＞1.\end{array}\right.$
（1）若a=0，x∈[0，4]，则f（x）的值域是[-1，1]；
（2）若f（x）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）在[-4，4]上的单调性，利用单调性求出最值即可得出值域；
（2）对x讨论，分别求出f（x）的零点，令其零点分别在对应的定义域上即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≤1}\\{\sqrt{x}-1，x＞1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，
∵f（0）=0，f（1）=-1，f（4）=1，
∴f（x）在[0，1]上的值域是[-1，0]，在（1，4]上的值域是（0，1]，
∴f（x）在[0，4]上的值域是[-1，1]．
（2）当x≤1时，令f（x）=0得x=2a或x=a，
当x＞1时，令f（x）=0得$\sqrt{x}$=1-a，∴x=（1-a）²（1-a＞1），
∵f（x）恰好有三个解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≤1}\\{a≤1}\\{2a≠a}\\{（1-a）^{2}＞1}\\{1-a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜0．
故答案为：[-1，1]；（-∞，0）．

点评 本题考查了基本初等函数的单调性，函数零点的计算，属于中档题．