Question

11．已知函数f（x）=Asin（ωx）（ω＞0）的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x）•cos（2x+\frac{π}{6}）$，求g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图象求得A及周期，再由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）把f（x）代入$g（x）=f（x）•cos（2x+\frac{π}{6}）$，整理后由复合函数的单调性求得g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）由图象可知A=2，
设函数f（x）的周期为T，则$\frac{π}{4}-（-\frac{π}{2}）=\frac{3}{4}T$，
求得T=π，从而ω=2，
∴f（x）=2sin2x；
（Ⅱ）$g（x）=2sin2xcos（2x+\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{3}sin2xcos2x-{sin^2}2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin4x+\frac{1}{2}cos4x-\frac{1}{2}$=$sin（4x+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
即$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
令k=0，得$\frac{π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调递减区间为$[\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）型函数的图象求函数解析式，考查正弦型复合函数的性质，是基础题．