Question

16．已知O为坐标原点，F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，若抛物线与直线l：x-$\sqrt{3}$y-$\frac{p}{2}$=0在第一、四象限分别交于A，B两点．则$\frac{（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}）^{2}}{（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}）^{2}}$的值等于（　　）

• A． 97+56$\sqrt{3}$
• B． 144
• C． 73+40$\sqrt{3}$
• D． 4p²

Answer 1

分析 设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，求出A、B的坐标，然后求其比值．

解答 解：由题意，直线过焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=8p，
∴x₁+x₂=7p，
∵x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，∴x₁=$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$p，x₂=$\frac{7-4\sqrt{3}}{2}$p
∴$\frac{（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}）^{2}}{（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OB}）^{2}}$=$\frac{|AF{|}^{2}}{|BF{|}^{2}}$=97+56$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．