Question

5．已知函数f（x）=（x+m）lnx-（m+1+$\frac{1}{e}$）x在x=e处取到极值
（Ⅰ）求m的值
（Ⅱ）当x＞1时，证明f（x）+（2+$\frac{1}{e}$）x＞2x-2
（Ⅲ）如果s，t，r满足|s-r|≤|t-r|，那么称s比t更靠近r，当a≥2且x≥1时，试比较$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪个更靠近f（x），并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：求导，f′（e）=0，即可求得m的值；
（Ⅱ）构造函数h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，求导，根据函数的单调性，即可证明不等式；
（Ⅲ）设p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，由导数性质求出p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，由此利用导数性质推导出在a≥2，x≥1时，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x+m）lnx-（m+1+$\frac{1}{e}$）x，
求导f（x′）=$\frac{x+m}{x}$+lnx-（m+1+$\frac{1}{e}$），
由f′（e）=0，则$\frac{e+m}{e}$-m-$\frac{1}{e}$=0，解得：m=1，
m的值为1；
（Ⅱ）证明：由题意可知：不等式左边为（x+1）lnx，由x＞1，
h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，h′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$，x＞1，则h′（x）＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）单调递增；
h（x）＞h（1）=0，
∴则（x+1）lnx＞2x-2，
（Ⅲ）设p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，
∵则p′（x）=$\frac{e+x}{{x}^{2}}$＜0，q′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，q′（1）=0，则q′（x）＞0，x＞1，
∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，
又P（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0，
∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，
∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．
①当1≤x≤e时，|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a，
设m（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a，则m′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-e^x-1＜0
∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近f（x）．
②当x＞e时，|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1-a＜2lnx-e^x-1-a，
设n（x）=2lnx-e^x-1-a，则n′（x）=$\frac{2}{x}$-e^x-1，n″（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-e^x-1＜0
∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，则n′（x）＜0
∴|p（x）|＜|q（x）|，∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近f（x）．
综上，在a≥2，x≥1时，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近f（x）．

点评 本题考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况，主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求，属于中档题．