Question

10．甲、乙两盒中各装有大小相同的小球9个，其中甲盒中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4；乙盒中红色、黑色、白色小球的个数均为3．学生A从甲盒中取球，学习B从乙盒中取球．
（Ⅰ）若A，B各取一球，求两人所取的球颜色不同的概率；
（Ⅱ）若每人依次各取2球，称同一人手中两球盐酸相同的取法为成功取法，记成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立事件概率计算公式能求出A，B各取一球，两人所取的球颜色不同的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵甲、乙两盒中各装有大小相同的小球9个，
其中甲盒中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4；
乙盒中红色、黑色、白色小球的个数均为3．学生A从甲盒中取球，学习B从乙盒中取球．
∴A，B各取一球，两人所取的球颜色不同的概率：
P=1-（$\frac{2}{9}×\frac{3}{9}+\frac{3}{9}×\frac{3}{9}+\frac{4}{9}×\frac{3}{9}$）=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，
A取球成功的概率P₁=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{5}{18}$，
B取球成功的概率P₂=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=0）=（1-$\frac{5}{18}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{13}{24}$，
P（X=1）=（1-$\frac{5}{18}$）×$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{18}（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{7}{18}$，
P（X=2）=$\frac{5}{18}×\frac{1}{4}$=$\frac{5}{72}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{13}{24}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{72}$

EX=$0×\frac{13}{24}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{5}{72}$=$\frac{19}{36}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．