Question

7．设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，2]任取的一个数，b是从区间[0，3]任取的一个数，求上述方程有实数的概率．

Answer 1

分析 首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．

解答 解：设事件A为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：
（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件，
∴事件A发生的概率为P=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}
满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}
∴所求的概率是$\frac{\frac{1}{2}×2×2}{2×3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．