Question

16．已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，xf'（x）＜f（-x）（其中f'（x）是f（x）的导函数），若a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}）$，b=（lg3）f（lg3），c=$（{log_3}\frac{1}{3}）f（{log_3}\frac{1}{3}）$，则（　　）

• A． c＞a＞b
• B． c＞b＞a
• C． a＞b＞c
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较$\sqrt{3}$、lg3和1的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．

解答 解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1，$\sqrt{3}$∈（1，2）
∴F（2）＞F（$\sqrt{3}$）＞F（lg3）
∵log₃$\frac{1}{3}$=-1，从而F（log₃$\frac{1}{3}$）=F（-1）=F（1）
∴F（$\sqrt{3}$）＞F（log₃$\frac{1}{3}$）＞F（lg3）
得a＞c＞b，
故答案为：D

点评 本题给出抽象函数，比较几个函数值的大小．着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识，属于中档题．