Question

10．已知函数f（x）=lnx，曲线y=g（x）与曲线y=f（x）关于直线y=x对称，若存在一条过原点的直线与曲线y=f（x）和曲线y=g（ax）都相切，则实数a的值为$\frac{1}{e^2}$．

Answer 1

分析 求得g（x）=e^x，设过原点的切线方程为y=kx，与y=lnx的切点为（m，lnm），与y=g（ax）的切点为（n，e^an），由导数的几何意义和斜率公式，得到方程组，解方程即可得到所求a的值．

解答 解：函数f（x）=lnx，曲线y=g（x）与曲线y=f（x）关于直线y=x对称，
可得g（x）=e^x，
设过原点的切线方程为y=kx，
与y=lnx的切点为（m，lnm），与y=g（ax）的切点为（n，e^an），
由y=lnx的导数y′=$\frac{1}{x}$，y=e^ax的导数y′=ae^ax，
即有k=$\frac{1}{m}$=ae^an=$\frac{lnm}{m}$=$\frac{{e}^{an}}{n}$，
解得m=e，k=$\frac{1}{e}$，n=e²，an=1，则a=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，注意设出切点和正确求导是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．