Question

18．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，求m的值，分类讨论，即可解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）直接利用柯西不等式，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x+2）=m-|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|-m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[-3，3]，故m=3．
所以f（x）+f（x+2）＞0可化为：3-|x-2|+3-|x|＞0，∴|x|+|x+2|＜6．
①当x≤-2时，-x-x-2＜6，∴x＞-4，又x≤-2，∴-4＜x≤-2；
②当-2＜x≤0时，-x+x+2＜6，∴2＜6，成立；
③当x＞0时，x+x+2＜6，∴x＜2，又x＞0，∴0＜x＜2．
综上①、②、③得不等式f（x）+f（x+2）＞0的解集为：{x|-4＜x＜2}…（5分）
（Ⅱ）证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3，
因为（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$）（a+b+c）≥（b+c+a）²，所以$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求解表达式的最值，考查转化思想与计算能力．