Question

20．据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量（个）	频数	频率
0～4		0.15
5～8	40	0.4
9～12	25
13～16	a	c
16以上	5	b
合计	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；
（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在0至4这一段，对应的频数为15，由此能求出a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率．
（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过12”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过12的概率．
（Ⅲ）由题意知微信群个数超过12的概率为P=$\frac{1}{5}$，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）在0至4这一段，对应的频数为15，
由已知得：15+40+25+a+5=100，
解得a=15，
∴b=$\frac{5}{100}$=0.05，c=$\frac{15}{100}=0.15$，c=$\frac{15}{100}$=0.15，
样本中微信群个数超过12的概率p=$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过12”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{20}^{1}{C}_{40}^{1}}{{C}_{200}^{2}}$=$\frac{32}{99}$，
∴2人中恰有1人微信群个数超过12的概率为$\frac{32}{99}$．
（Ⅲ）由题意知微信群个数超过12的概率为P=$\frac{1}{5}$，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P（X=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（1-\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（1-\frac{1}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}+2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．