Question

5．设函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}\right.$，则关于函数f（x）有以下四个命题（　　）
①?x∈R，f（f（x））=1；
②?x₀，y₀∈R，f（x₀+y₀）=f（x₀）+f（y₀）；
③函数f（x）是偶函数；
④函数f（x）是周期函数．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由函数的值的求法、函数的性质逐一核对四个命题得答案．

解答 解：由$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1，x有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}}\right.$，
可得f（x）=0或1，则?x∈R，f（f（x））=1，故①正确；
当${x}_{0}=\sqrt{2}，{y}_{0}=\sqrt{3}$时，f（x₀+y₀）=f（x₀）+f（y₀），故②正确；
∵x为有理数，则-x为有理数，x为无理数，则-x为无理数，∴函数f（x）是偶函数，故③正确；
任何一个非0的有理数都是函数的周期，∴函数f（x）是周期函数，故④正确．
∴真命题的个数是4个．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，是中档题．