Question

10．某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）.$∠BCD=∠CDE=\frac{2π}{3}$，$∠BAE=\frac{π}{3}，DE=3BC=3CD=\frac{9}{10}km$．
（1）求道路BE的长度；
（2）求生活区△ABE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：BD，在Rt△BDE中，求解BE即可．
（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理，求解AB，AE，表示S_△ABE，然后求解最大值．

解答 解：（1）

如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得：$B{D^2}=B{C^2}+C{D^2}-2BC•CDcos∠BCD=\frac{27}{100}$，
∴$BD=\frac{{3\sqrt{3}}}{10}$．
∵BC=CD，∴$∠CDB=∠CBD=\frac{{π-\frac{2}{3}π}}{2}=\frac{π}{6}$，
又$∠CDE=\frac{2π}{3}$，∴$∠BDE=\frac{π}{2}$．
在Rt△BDE中，所以$BE=\sqrt{B{D^2}+D{E^2}}=\sqrt{{{（{\frac{{3\sqrt{3}}}{10}}）}^2}+{{（{\frac{9}{10}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$．
（2）设∠ABE=α，∵$∠BAE=\frac{π}{3}$，∴$∠AEB=\frac{2π}{3}-α$．
在△ABE中，由正弦定理，得$\frac{AB}{sin∠AEB}=\frac{AE}{sin∠ABE}=\frac{BE}{sin∠BAE}=\frac{{3\sqrt{3}}}{{5sin\frac{π}{3}}}=\frac{6}{5}$，
∴$AB=\frac{6}{5}sin（{\frac{2π}{3}-α}），AE=\frac{6}{5}sinα$．
∴${S_{△ABE}}=\frac{1}{2}|{AB}||{AE}|sin\frac{π}{3}=\frac{{9\sqrt{3}}}{25}[{sin（{\frac{2π}{3}-α}）sinα}]$
=$\frac{{9\sqrt{3}}}{25}[{\frac{1}{2}sin（{2α-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{4}}]≤\frac{{9\sqrt{3}}}{25}（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}）=\frac{{27\sqrt{3}}}{100}$．
∵$0＜α＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$．
∴当$2α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$时，S_△ABE取得最大值为$\frac{{27\sqrt{3}}}{100}$，
即生活区△ABE面积的最大值为$\frac{{27\sqrt{3}}}{100}k{m^2}$．
注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查距离的求法，是中档题．