Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}=（3，1）$，$\overrightarrow{OB}=（-1，3）$，$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}-n\overrightarrow{OB}$（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围是（　　）

• A． $[\sqrt{5}，2\sqrt{5}]$
• B． $[\sqrt{5}，2\sqrt{10}）$
• C． $（\sqrt{5}，\sqrt{10}）$
• D． $[\sqrt{5}，2\sqrt{10}]$

Answer 1

分析 根据题意，由向量的坐标运算公式可得$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}-n\overrightarrow{OB}$=（3m+n，m-3n），再由向量模的计算公式可得$|\overrightarrow{OC}|$=$\sqrt{10（{m}^{2}+{n}^{2}）}$，可以令t=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由$|\overrightarrow{OC}|$=$\sqrt{10}$t，分析可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow{OA}=（3，1）$，$\overrightarrow{OB}=（-1，3）$，
$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}-n\overrightarrow{OB}$=（3m+n，m-3n），
则$|\overrightarrow{OC}|$=$\sqrt{（3m+n）^{2}+（m-3n）^{2}}$=$\sqrt{10（{m}^{2}+{n}^{2}）}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，则$|\overrightarrow{OC}|$=$\sqrt{10}$t，
而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，
t=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，
分析可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t＜2，
又由$|\overrightarrow{OC}|$=$\sqrt{10}$t，
故$\sqrt{5}$≤$|\overrightarrow{OC}|$＜2$\sqrt{10}$；
故选：B．

点评 本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出$|\overrightarrow{OC}|$的表达式．