Question

11．已知点F₁，F₂分别是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右两焦点，过点F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF₂是以∠PQF₂为顶角的等腰三角形，其中$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，则双曲线离心率e
的取值范围为（　　）

• A． $[\sqrt{7}，3）$
• B． $[1，\sqrt{7}）$
• C． $[\sqrt{5}，3）$
• D． $[\sqrt{5}，\sqrt{7}）$

Answer 1

分析 由题意设θ=$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，可得∠F₁PF₂=$\frac{π+θ}{2}$，设|QP|=|QF₂|=x，则由双曲线的定义可得|PF₁|=2a，即有|PF₂|=4a，在△PF₁F₂中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．

解答 解：△PQF₂是以∠PQF₂为顶角的等腰三角形，
其中设θ=$∠PQ{F_2}∈[\frac{π}{3}，π）$，
可得∠F₁PF₂=$\frac{π+θ}{2}$，
设|QP|=|QF₂|=x，
则由双曲线的定义可得|QF₁|-|QF₂|=2a，即|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=4a，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得，cos∠F₁PF₂=$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-4{c}^{2}}{2•2a•4a}$
=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{4}$e²=-sin$\frac{θ}{2}$∈（-1，-$\frac{1}{2}$]，
解得$\sqrt{7}$≤e＜3．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．