Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）若F为AB中点，$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}（0＜λ＜1）$，试确定λ的值，使二面角P-FM-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．
（II） 以A为原点，以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．
（II） 以A为原点，以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AP}$为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A-BDP，令|AB|=2，

则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），$\overrightarrow{PF}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，$\overrightarrow{PM}=（2λ，2λ，-2λ）$，M（2λ，2λ，2-2λ）
设平面PFM的法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{PF}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{PM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+2z=0\\ 2λx+2λy-2λz=0\end{array}\right.$，$\overrightarrow m=（2，-1，1）$
设平面BFM的法向量$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{FM}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\（{2λ-1}）x+2λy+（{2-2λ}）z=0\end{array}\right.$，$\overrightarrow n=（0，λ-1，λ）$$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}}|=|{\frac{1-λ+λ}{{\sqrt{6}\sqrt{{λ^2}+{{（{λ-1}）}^2}}}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．