Question

15．设函数f（x）=2x-a，g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）+f（-x）≤g（x）的解集；
（2）求证：$f（{\frac{b}{2}}），f（{-\frac{b}{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$中至少有一个不小于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（-x）≤g（x）的解集；
（2）利用反证法证明即可．

解答 （1）解：当a=1时，|2x-1|+|2x+1|≤x+2，
$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-4x≤x+2}\end{array}}\right.$无解；$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2≤x+2}\end{array}}\right.$，解得$0≤x＜\frac{1}{2}$；$\left\{{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{4x≤x+2}\end{array}}\right.$，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}$．
综上，不等式的解集为$\left\{{x|0≤x≤\frac{2}{3}}\right\}$．
（2）证明：若$f（{\frac{b}{2}}），f（{-\frac{b}{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$都小于$\frac{1}{2}$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜a+b＜\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜a-b＜\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}＜1-a＜\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，前两式相加得$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$与第三式$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$矛盾．故$f（{\frac{b}{2}}），f（{-\frac{b}{2}}），f（{\frac{1}{2}}）$中至少有一个不小于$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．