Question

5．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由等边三角形和双曲线的对称性，可得，∠OAF=30°，再由渐近线方程，可得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，再由a，b，c的关系和c的值，即可计算得到a．

解答 解：由于△OAB（O为坐标原点）是等边三角形，
则由对称可得，∠OAF=30°，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即有tan30°=$\frac{b}{a}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=$\sqrt{3}$，
则a=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．