Question

13．某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：

单价x（元/件）	60	62	64	66	68	70
销量y（件）	91	84	81	75	70	67

（Ⅰ）画出散点图，并求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？
附：回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}{b}$x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根据所给数据画出散点图，计算平均数，求出回归系数，即可求得回归直线方程；
（II）利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求企业获得的利润最大．

解答 解：（ I）散点图如图        …（2分）
由图得销量y与单价x线性相关$\overline x=\frac{60+62+64+66+68+70}{6}=65$…（3分）
$\overline y=\frac{91+84+81+75+70+67}{6}=78$…（4分）$\hat b=\frac{-5×13-3×6-1×3-3×8-7×11}{{2（{5^2}+{3^2}+1）}}=-\frac{12}{5}$，…（6分）$\hat a=78+\frac{12}{5}×65=234$，
∴回归直线方程为$\hat y=-\frac{12}{5}x+234$…（8分）
（ II）利润$Q=（-\frac{12}{5}x+234）（x-36）=-\frac{12}{5}（x-\frac{585}{6}）（x-36）$…（10分）
当$x=\frac{{\frac{585}{6}+36}}{2}$时，利润最大，这时x≈67
故定价约为67元时，企业获得最大利润．…（12分）

点评 本题主要考查统计部分的基本知识．考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识．