Question

4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=$\sqrt{3}$bsinC-ccosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinBsinC-sinCcosB，进而变形可得1=$\sqrt{3}$sinC-cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B-$\frac{π}{6}$），即可得B-$\frac{π}{6}$的值，计算可得B的值，即可得答案；
（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）²-3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）²-36，解可得a+c=4$\sqrt{3}$，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB计算可得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，若c=$\sqrt{3}$bsinC-ccosB，
由正弦定理可得sinC=$\sqrt{3}$sinBsinC-sinCcosB，
又由sinC≠0，则有1=$\sqrt{3}$sinC-cosB，
即1=2sin（B-$\frac{π}{6}$），
则有B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或B-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$或π（舍）
故B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）已知b=2$\sqrt{3}$，则b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=12，
又由a、b、c成等比数列，即b²=ac，
则有12=（a+c）²-36，解可得a+c=4$\sqrt{3}$，
所以△ABC的周长l=a+b+c=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²sinB=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值．