Question

14．已知椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），F₁，F₂分别是其左、右焦点，以线段F₁F₂为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是[-$\frac{1}{4}$，0），求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知c=b=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式，结合已知条件能求出|AB|的最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），F₁，F₂分别是其左、右焦点，
以线段F₁F₂为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点，
∴由题意可知c=b=1，
∴a=$\sqrt{2}$，故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k≠0），
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$=-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}+1）=\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分线方程为y-y₀=-$\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，
令y=0，得${x}_{P}={x}_{0}+k{y}_{0}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，
∵${x}_{P}∈[-\frac{1}{4}，0）$，∴-$\frac{1}{4}≤-\frac{1}{2}+\frac{1}{4{k}^{2}+2}$，∴0＜k²$≤\frac{1}{2}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{4}-4（2{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}}{2{k}^{2}+1}$
=2$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2{k}^{2}+1）}$]$≥\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
|AB|的最小值|AB|_min=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式、椭圆性质的合理运用．