Question

5．在△ABC中，D为BC中点，AD=3．
（1）当BC=4，AB=4时，求AC的长；
（2）当∠BAC=90°时，求△ABC周长的最大值；
（3）当∠BAD=45°，∠CAD=30°时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用cos∠ADB=-cos∠ADC，建立方程，求AC的长；
（2）当∠BAC=90°时，周长l=6+6cosB+6sinB，利用三角函数知识求△ABC周长的最大值；
（3）当∠BAD=45°，∠CAD=30°时，求出AB，AC，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）设AC=x，
∵cos∠ADB=-cos∠ADC，
∴$\frac{{{3^2}+4-{4^2}}}{2×2×3}=-\frac{{{3^2}+{2^2}-{x^2}}}{2×2×3}$，
∴$x=\sqrt{10}$；
（2）∠BAC=90°时，则BC=2AD=6
∴周长l=6+6cosB+6sinB，
$l=6+6\sqrt{2}sin（{B+\frac{π}{4}}）≤6+6\sqrt{2}$
∴最大值$6+6\sqrt{2}$当且仅当$B=\frac{π}{4}$成立
（3）

延长AD至E，使得AD=DE，∴ABEC为平行四边形
∴$\frac{AC}{sin45°}=\frac{6}{sin105°}=\frac{EC}{sin30°}$，
∴$AC=3\sqrt{2}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，$EC=AB=3（\sqrt{6}-\sqrt{2}）=AB$，
∴S=$\frac{1}{2}AB•AC•sin75°$=9（$\sqrt{3}$-1）．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．