Question

10．已知函数f（x）=2sinxcosx-sin²x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则$\frac{sin2θ+cos2θ}{sin2θ-cos2θ}$=（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 将函数f（x）=2sinxcosx-sin²x+1化解求解最小值，求出θ，带入$\frac{sin2θ+cos2θ}{sin2θ-cos2θ}$化解计算即可．

解答 解：函数f（x）=2sinxcosx-sin²x+1=sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$，
其中tanφ=$\frac{1}{2}$，可得cotφ=2．
当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=$-\frac{π}{2}+2kπ$，
那么：2θ=$-\frac{π}{2}-$φ+2kπ．
则$\frac{sin2θ+cos2θ}{sin2θ-cos2θ}$=$\frac{tan2θ+1}{tan2θ-1}$=$\frac{tan（-\frac{π}{2}-φ）+1}{tan（-\frac{π}{2}-φ）-1}$=$\frac{-tan（\frac{π}{2}+φ）+1}{-tan（\frac{π}{2}+φ）-1}$=$\frac{-cotφ+1}{-cotφ-1}=3$
故选B．

点评 本题主要考察了三角函数的诱导公式和辅助角公式，“弦化切”的思想．属于中档题．