Question

20．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，BC=CC₁，D是A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）当三棱锥C-B₁C₁D体积最大时，求点B到平面B₁CD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BC₁，交B₁C于O，连DO．推导出DO∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅱ）先求出点C到平面A₁B₁C₁的距离CC₁=4，B到平面B₁CD的距离与C₁到平面B₁CD的距离相等．由${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}$，能求出点B到平面B₁CD的距离．

解答 （本小题满分12分）．
证明：（Ⅰ）连结BC₁，交B₁C于O，连DO．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形BB₁C₁C为平行四边形，
则BO=OC₁，
又D是A₁C₁的中点，∴DO∥A₁B，而DO?平面B₁CD，
A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．…（4分）
解：（Ⅱ）设点C到平面A₁B₁C₁的距离是h，则${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}h$，
而h≤CC₁=4，故当三棱锥C-B₁C₁D体积最大时，h=CC₁=4，
即CC₁⊥平面A₁B₁C₁．…（6分）
由（Ⅰ）知：BO=OC₁，∴B到平面B₁CD的距离与C₁到平面B₁CD的距离相等．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥B₁D，
∵△ABC是等边三角形，D是A₁C₁中点，∴A₁C₁⊥B₁D，
又CC₁⊥A₁C₁=C₁，CC₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C，∴B₁D⊥CD，
由计算得：B₁D=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{5}$，∴${S}_{△{B}_{1}CD}$=2$\sqrt{15}$，…（9分）
设C₁到平面B₁CD的距离为h′，由${V}_{C-{B}_{1}{C}_{1}D}={V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}$，得：
$\frac{2\sqrt{3}}{3}×4=\frac{1}{3}{S}_{△{D}_{1}CD}×{h}^{'}$，解得${h}^{'}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点B到平面B₁CD的距离是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．