Question

15．已知数列{a_n}的首项为7，且${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+3（{n≥2}）$，则a₆=（　　）

• A． $\frac{193}{32}$
• B． $\frac{385}{64}$
• C． $\frac{161}{32}$
• D． $\frac{97}{16}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{a_n-6}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式，可得a_n，则a₆可求．

解答 解：由${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+3（{n≥2}）$，得${a}_{n}-6=\frac{1}{2}（{a}_{n-1}-6）$（n≥2），
∵a₁-6=7-6=1≠0，
∴$\frac{{a}_{n}-6}{{a}_{n-1}-6}=\frac{1}{2}$，即数列{a_n-6}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}-6=1×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，即${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}+6$，
则${a}_{6}=（\frac{1}{2}）^{5}+6=\frac{193}{32}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列递推式构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．