Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，并且经过点M（-$\sqrt{2}$，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=1相切，与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积最大值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率及待定系数法，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）当斜率不存在时，求得丨AB丨，求得△AOB的面积，当斜率存在，将直线代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨，换元，根据二次函数的性质，即可求得△AOB的面积最大值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
b²=a²-c²=c²，
将M（-$\sqrt{2}$，1）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$解得：b²=2，a²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线l为x=±1，当x=±1，y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则丨AB丨=2丨y丨=$\sqrt{6}$，
△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
当直线的斜率存在，设直线l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l与圆O：x²+y²=1相切，则1=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，则m²=k²+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-4）=6k²+2＞0恒成立，
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{32{k}^{2}-8{m}^{2}+16}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{24{k}^{2}+8}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨•1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{24{k}^{2}+8}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
令1+2k²=t，t＞0，则S²=$\frac{3{t}^{2}+2t-1}{2{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×[-（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{2}{t}$+3]，t＞0，
由二次函数的性质，当t=1，即k=0时，S²取最大值为2，
△AOB的面积最大值为$\sqrt{2}$，
综上可知：△AOB的面积最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及二次函数的综合应用，考查计算能力，属于中档题．