Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x≥1}\\{1-\frac{x}{2}，x＜1}\end{array}$，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x₁，x₂，则x₁•x₂的取值范围是（　　）

• A． [4-2ln2，+∞）
• B． （$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，4-2ln2]
• D． （-∞，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x₁x₂=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，设g（t）=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x₁x₂的取值范围．

解答 解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，
∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1-$\frac{x}{2}$＞$\frac{1}{2}$，f（x）+1＞$\frac{3}{2}$，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e^-m，f（x）=e^-m-1，有两个根x₁，x₂，（不妨设x₁＜x₂），
当x≥1是，lnx₂=e^-m-1，当x＜1时，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=e^-m-1，
令t=e^-m-1＞$\frac{1}{2}$，则lnx₂=t，x₂=e^t，1-$\frac{{x}_{1}}{2}$=t，x₁=2-2t，
∴x₁x₂=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，
设g（t）=e^t（2-2t），t＞$\frac{1}{2}$，
求导g′（t）=-2te^t，
t∈（$\frac{1}{2}$，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
∴g（t）＜g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$，
∴g（x）的值域为（-∞，$\sqrt{e}$），
∴x₁x₂取值范围为（-∞，$\sqrt{e}$），
故选：D．

点评 本题考查函数零点的判定，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．