Question

13．设函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}$x．
（1）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的最大值；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，$f（{\frac{C}{2}}）=1$，且C为锐角，c=$\sqrt{3}$，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由已知可求范围$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，利用正弦函数的性质可求最大值．
（2）由已知可求$sin（{C-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，结合C为锐角，可求C，利用正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a-b=2sin（A-$\frac{π}{3}$），结合范围$A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，可求$A-\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}）$，利用正弦函数的性质可求其范围．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$，
∴当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，$f{（x）_{max}}=\frac{3}{2}$．
（2）$f（{\frac{C}{2}}）=sin（{C-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=1$，
∴$sin（{C-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
又∵C为锐角，
∴$C=\frac{π}{3}$．
∵$c=\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
∴a=2sinA，b=2sinB，
又$A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-A，A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
∴$a-b=2sinA-2sinB=2sinA-2sin（{\frac{2π}{3}-A}）=sinA-\sqrt{3}cosA=2sin（{A-\frac{π}{3}}）$，
又∵$A∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
∴$A-\frac{π}{3}∈（{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}）$，
∴$2sin（{A-\frac{π}{3}}）∈（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，即$a-b∈（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．