Question

8．若函数f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{2}-（{1+2a}）x+2lnx（{a＞0}）$在区间$（{\frac{1}{2}，1}）$内有极大值，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{e}，+∞}）$
• B． （1，+∞）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为f′（x）在（$\frac{1}{2}$，1）先大于0，再小于0，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=ax-（1+2a）+$\frac{2}{x}$=$\frac{{ax}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$，（a＞0，x＞0）
若f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）有极大值，
则f′（x）在（$\frac{1}{2}$，1）先大于0，再小于0，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$，解得：1＜a＜2，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查不等式以及二次函数的性质，是一道中档题．