Question

16．已知函数$f（x）=|x|+{2^x}-\frac{1}{2}（{x＜0}）$与g（x）=|x|+log₂（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\sqrt{2}}）$
• B． $（{-∞，\sqrt{2}}）$
• C． $（{-∞，2\sqrt{2}}）$
• D． $（{-2\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$

Answer 1

分析 令f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有解，根据函数图象得出a的范围．

解答 解：f（x）关于y轴对称的函数为h（x）=f（-x）=x+2^-x-$\frac{1}{2}$（x＞0），
令h（x）=g（x）得2^-x-$\frac{1}{2}$=log₂（x+a）（x＞0），
则方程2^-x-$\frac{1}{2}$=log₂（x+a）在（0，+∞）上有解，
作出y=2^-x-$\frac{1}{2}$与y=log₂（x+a）的函数图象如图所示：

当a≤0时，函数y=2^-x-$\frac{1}{2}$与y=log₂（x+a）的函数图象在（0，+∞）上必有交点，符合题意；
若a＞0，若两图象在（0，+∞）上有交点，则log₂a$＜\frac{1}{2}$，解得0$＜a＜\sqrt{2}$，
综上，a$＜\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了方程解与函数图象的关系，函数图象的变换，属于中档题．