Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若四边形CAA₁C₁和BAA₁B₁都是正方形，求多面体CA₁C₁BD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连结DE，则E是AC₁的中点，由三角形中位线定理可得DE∥BC₁，再由线面平行的判定可得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）由已知可得A₁A⊥AC，A₁A⊥AB，再由线面垂直的判定可得A₁A⊥平面ABC，由多面体CA₁C₁BD的体积$V={V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{A_1}-ACD}}-{V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$求得多面体CA₁C₁BD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC₁，设AC₁∩A₁C=E，连结DE，则E是AC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥BC₁，
又DE?平面A₁CD，BC?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）解：∵四边形CAA₁C₁是正方形，∴A₁A⊥AC，
又∵BAA₁B₁都是正方形，∴A₁A⊥AB，
又AC?平面ABC，AB?平面ABC，AB∩AC=A，∴A₁A⊥平面ABC，
∵${S_{△ABC}}={S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴多面体CA₁C₁BD的体积$V={V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{A_1}-ACD}}-{V_{B-{A_1}{B_1}{C_1}}}$
=${S}_{△ABC}•A{A}_{1}-\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•A{A}_{1}-\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\sqrt{3}×2-\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2-\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$．
∴多面体CA₁C₁BD的体积为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．