Question

4．设抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为$\sqrt{2}$，则p的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，结合|AF|=2|BF|，求出CD，利用三角形CDF的面积为$\sqrt{2}$，即可求出p的值．

解答 解：如图所示，M是AC的中点，则x+$\frac{1}{3}x$=p，∴x=$\frac{3}{4}$p，
∴AB=$\frac{9}{4}$p，∴CD=MB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，
∵三角形CDF的面积为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}p×p=\sqrt{2}$，
∴$p=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查三角形面积的计算，求出CD是关键．