Question

11．如图（1），在五边形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，现将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面EOD；
（Ⅱ）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出四边形OBCD为平行四边形，AB⊥OD，EO⊥AB，从而AB⊥平面EOD，由此能证明平面ABE⊥平面EOD．
（Ⅱ）以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是线段AB的中点，∴OB=CD，
又∵OB∥CD，∴四边形OBCD为平行四边形，
又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，
又∵O是等腰直角△EAB斜边上的中点，
∴EO⊥AB，
∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EOD．
解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，
∴OB，OD，OE两两垂直，
以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵△EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1，
∴OA=OB=OD=OE=1，
∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），
C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-1，1），
设平面ECD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∵OD⊥平面ABE，∴$\overrightarrow{OD}=（0，1，0）$是平面ABE的一个法向量，
设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为45°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．