Question

2．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一个零点为$\frac{π}{3}$，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上恒有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的零点列式得到$\frac{π}{3}$•ω+φ=kπ，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log₂k=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上恒有实数解即可求得k的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$•ω+φ）=0，即$\frac{π}{3}$•ω+φ=kπ，①
$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，得ω=2，代入①得φ=$kπ-\frac{2π}{3}$，取k=1，得φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{3}$）；
（Ⅱ）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，∴$2x+\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{6}，\frac{5π}{3}$]，得f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
由f（x）+log₂k=0，得log₂k=-f（x）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
∴k∈[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．