Question

20．已知正数x，y满足$x+4y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的取值范围是[1，9]．

Answer 1

分析 根据题意，令$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=m$，则得到x+4y=10-m，根据基本不等式求出（x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）的最值，即可得到关于m的不等式解得即可．

解答 解：$x+4y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=10$，
令$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=m$，
∴x+4y=10-m，
∴（x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=m（10-m），
∵5+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=9，
∴m（10-m）≥9，
∴m²-10m+9≤0，
解得1≤m≤9，
故答案为：[1，9]．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．