Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{c}{b-a}=\frac{sinA+sinB}{sinA+sinC}$．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$2\sqrt{2}$，a+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化$\frac{c}{b-a}=\frac{sinA+sinB}{sinA+sinC}$，再根据余弦定理求出B的值；
（2）利用余弦定理求出ac的值，再求△ABC的面积．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\frac{c}{b-a}=\frac{sinA+sinB}{sinA+sinC}$，
∴$\frac{c}{b-a}$=$\frac{a+b}{a+c}$，
∴ac+c²=b²-a²，
∴c²+a²-b²=-ac，
∴cosB=$\frac{{c}^{2}{+a}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b=$2\sqrt{2}$，a+c=3，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2accos$\frac{2π}{3}$=（a+c）²-ac=9-ac=8，
∴ac=1；
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．