Question

3．若函数$f（x）=\sqrt{a{x^2}+bx+c}$（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为集合A，B，且集合{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，则b+c的最大值为5．

Answer 1

分析 求出集合A，B，因为{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，所以$\frac{{\sqrt{{b^2}-4ac}}}{-a}=\sqrt{\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}}=1$，可得a=-4，b²+16c=16，$c=1-\frac{b^2}{16}$，即可求出b+c的最大值．

解答 解：由题可知，a＜0，b²-4ac＞0，则$A=[{\frac{{-b+\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}，\;\;\frac{{-b-\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}}]$，$B=[{0，\;\;\sqrt{\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}}}]$，
因为{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，所以$\frac{{\sqrt{{b^2}-4ac}}}{-a}=\sqrt{\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}}=1$，
可得a=-4，b²+16c=16，$c=1-\frac{b^2}{16}$，所以$b+c=-\frac{b^2}{16}+b+1=-\frac{1}{16}{（b-8）^2}+5$，当b=8时有最大值5．
故答案为5．

点评 本题考查函数的定义域、值域的求法，考查配方法的运用，属于中档题．