Question

11．已知函数f（x）=|x²-a|，g（x）=x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值M（a）的最小值；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时直接去绝对值符号，结合二次函数的图象即得结论；
（Ⅱ）利用f（x）为偶函数可知只需考虑f（x）在[0，1]上的最大值即可，进而对a的正、负、零情况分类讨论即可．
（Ⅲ）通过令y=f（x）+g（x），对a的正、负、零情况讨论可知a≤0不满足题意，进而考虑a＞0，此时y是一个分段函数，利用方程h（x）=2x²-ax-a=0在（0，+∞）只有一解可知方程-ax+a=0必有一解x=1，进而计算可得结论

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x²-1|，
∴当-1≤x≤1时，f（x）=1-x²，
显然f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=1．
（Ⅱ）由于f（x）=|x²-a|在区间[-1，1]上是偶函数，故只需考虑f（x）在[0，1]上的最大值即可．
若a≤0，则f（x）=x²-a，它在[0，1]上是增函数，故M（a）=1-a．
若a＞0，由a=1-a知，当$a＜\frac{1}{2}$时，M（a）=1-a，当$a≥\frac{1}{2}$时，M（a）=a，
故当$a=\frac{1}{2}$时，M（a）最小，最小值为$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）令y=f（x）+g（x），
当a=0时，方程y=2x²=0只有一解，
当a＜0，y=2x²-ax-a对称轴为$x=\frac{a}{4}＜0$，
故方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上不存在两解．
当a＞0时，$y=\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}-ax-a（x＜-a或x＞a）}\\{-ax+a（-a≤x≤a）}\end{array}}\right.$，
令h（x）=2x²-ax-a，由h（0）=-a＜0知，方程h（x）=0在（0，+∞）只有一解，
故方程-ax+a=0必有一解x=1，知a≥1，所以方程h（x）=0在（1，2）必有一解．
由h（1）h（2）＜0，得（2-2a）（8-3a）＜0，所以$1＜a＜\frac{8}{3}$，
综上所述，a的取值范围为：[1，$\frac{8}{3}$]．

点评 本题是一道关于导数的综合题，涉及分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．