Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得${t}^{2}-4\sqrt{2}t+7=0$，结合根与系数的关系进行解答．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），得直线l的普通方程为x+y-7=0．
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得${t}^{2}-4\sqrt{2}t+7=0$，
设t₁，t₂是上述方程的两实数根，
所以t₁+t₂=4$\sqrt{2}$，t₁t₂=7，
∴t₁＞0，t₂＞0，
所以$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．