Question

5．已知f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用导数求得f（x）=x³-3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．

解答 解：f（x）=x³-3x+2+m，求导f′（x）=3x²-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=m，f（x）_max=f（2）=m+4，f（0）=m+2．
∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，
∴2m²＜（m+4）²，即m²-8m-16＜0，解得4-4$\sqrt{2}$＜m＜4+4$\sqrt{2}$，
又已知m＞0，∴0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．
故答案为：0＜m＜4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性求得最值的知识，考查不等式的构造及其求法，属中档题．