Question

17．已知P（0，1）是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A，B是椭圆C上异于点P的两点，直线PA与直线x=4交于点M，是否存在点A，使得S_△ABP=$\frac{1}{2}{S_{△ABM}}$？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点P（0，1）可得b=1，然后求解a，即可求解椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（m，n），直线PA的方程为：$y=\frac{n-1}{m}x+1$，求出M$（{4，\frac{4n-4}{m}+1}）$，通过${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}{S_{△ABM}}$等价于$\frac{{|{PA}|}}{{|{PM}|}}=\frac{1}{3}$且点A在y轴的右侧，党的$\frac{{|{{x_A}-{x_P}}|}}{{|{{x_M}-{x_P}}|}}=\frac{|m|}{4}=\frac{1}{3}$，求出A（$\frac{4}{3}$，$±\frac{1}{3}$），可得结果．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点P（0，1）可得b=1，
又点P到两焦点距离和为$2\sqrt{2}$，可得$a=\sqrt{2}$，
所以椭圆C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设A（m，n），依题意得：直线PA的斜率存在，
则直线PA的方程为：$y=\frac{n-1}{m}x+1$，
令x=4，$y=\frac{4n-4}{m}+1$，即M$（{4，\frac{4n-4}{m}+1}）$，
又${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}{S_{△ABM}}$等价于$\frac{{|{PA}|}}{{|{PM}|}}=\frac{1}{3}$且点A在y轴的右侧，
从而$\frac{{|{{x_A}-{x_P}}|}}{{|{{x_M}-{x_P}}|}}=\frac{|m|}{4}=\frac{1}{3}$，
因为点A在y轴的右侧，
所以$\frac{m}{4}=\frac{1}{3}$，解得 $m=\frac{4}{3}$，
由点A在椭圆上，解得：$n=±\frac{1}{3}$，
于是存在点A（$\frac{4}{3}$，$±\frac{1}{3}$），使得${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}{S_{△ABM}}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，存在性问题的解决方法，考查转化思想以及计算能力．