Question

16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且经过右焦点F₂的直线l与双曲线的右支交于A、B两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）求△ABF₁的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求双曲线E的方程；
（2）设直线方程为x=my+2（m≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，整理可得（m²-3）y²+4my+1=0，利用韦达定理，表示出${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2$×|y₁-y₂|，即可求得△ABF₁面积的取值范围．

解答 解：（1）∵双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∴双曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）设直线方程为x=my+2（m≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，整理可得（m²-3）y²+4my+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4m}{3-{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{1}{{m}^{2}-3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-3）^{2}}}$
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2$×|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-3）^{2}}}$
设m²-3=t，则t＞-3且t≠0，∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\sqrt{48（\frac{1}{t}+\frac{1}{8}）^{2}-\frac{3}{4}}$≥$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．