Question

11．已知函数f（x）=ax³-3x²+1，若f（-a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（　　）

• A． 0条
• B． 1条
• C． 2条
• D． 3条

Answer 1

分析 先求出a，再分类讨论，求出切线的条数．

解答 解：∵f（-a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，
∴2f（a）=f（-a）+f（3a），
代入化简可得a⁴-a²=0，
∵a≠0，∴a=±1，
a=-1，函数f（x）=-x³-3x²+1，
设切点A（x₀，y₀），
∵f′（x）=-3x²-6x，
∴切线斜率为-3x₀²-6x₀，又切线过原点，
∴-y₀=3x₀³+6x₀²①
又∵切点A（x₀，y₀）在f（x）=-x³-3x²+1的图象上，
∴y₀=-x₀³-3x₀²+1②
由①②得：2x₀³+3x₀²+1=0，方程有唯一解；
a=1，函数f（x）=x³-3x²+1，
设切点A（x₀，y₀），
∵f′（x）=3x²-6x，
∴切线斜率为3x₀²-6x₀，又切线过原点，
∴-y₀=-3x₀³+6x₀²①
又∵切点A（x₀，y₀）在f（x）=x³-3x²+1的图象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+1②
由①②得：2x₀³-3x₀²-1=0，方程有唯一解；
故选C．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查等差数列的性质，属于中档题．