Question

15．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C为菱形，AC=AB₁．
（1）证明：AB⊥B₁C；
（2）若$B{B_1}=a，∠CB{B_1}=\frac{2π}{3}$，平面AB₁C⊥平面BB₁C₁C，直线AB与平面BB₁C₁C所成角为$\frac{π}{4}$，求点B₁到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁交B₁C于O，连结AO，说明B₁C⊥BC₁，AO⊥B₁C，证明B₁C⊥平面ABO，即可推出AB⊥B₁C．
（2）证明AO⊥平面BB₁C₁C．得到$∠ABO=\frac{π}{4}$，求出${V_{A-{B_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}$，设B₁到平面ABC的距离为h，利用等体积法，转化求解即可．

解答 解：（1）证明：连结BC₁交B₁C于O，连结AO，
在菱形BB₁C₁C中，B₁C⊥BC₁，
∵AC=AB₁，O为B₁C中点，
∴AO⊥B₁C，
又∵AO∩BC₁=0，
∴B₁C⊥平面ABO，
∴AB⊥B₁C．
（2）∵平面AB₁C⊥平面BB₁C₁C，平面AB₁C∩平面BB₁C₁C=B₁C，又AO⊥B₁C，
∴AO⊥平面BB₁C₁C．
∴$∠ABO=\frac{π}{4}$，
∵BB₁=a，$∠CB{B_1}=\frac{2π}{3}$，
∴$B{C_1}=a，BO=\frac{a}{2}$，故$AO=\frac{a}{2}，AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，CO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，AC=a$．
∴${V_{A-{B_1}BC}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}$，
∵△ABC为等腰三角形，∴${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}$．
设B₁到平面ABC的距离为h，则${V_{A-{B_1}BC}}={V_{{B_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}×h=\frac{{\sqrt{7}}}{24}{a^2}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}$，
∴$h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}a$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．