Question

14．已知函数$f（x）=ln（kx）+\frac{1}{x}-k（k＞0）$．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意$x∈[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$，都有xln（kx）-kx+1≤mx，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）_max，通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）．
（Ⅰ）$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，．
令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），
（Ⅱ）由xln（kx）-kx+1≤mx，
得$ln（kx）+\frac{1}{x}-k≤m$，即m≥f（x）_max．
由（Ⅰ）知，
（1）当k≥2时，f（x）在$[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$上单调递减，所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{k}）=0$，所以m≥0；．
（2）当0＜k≤1时，f（x）在$[\frac{1}{k}，\frac{2}{k}]$上单调递增，所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
所以$m≥ln2-\frac{k}{2}$；
（3）当1＜k＜2时，f（x）在$[\frac{1}{k}，1）$上单调递减，在$（1，\frac{2}{k}]$上单调递增，
所以$f{（x）_{max}}=max\left\{{f（\frac{1}{k}），f（\frac{2}{k}）}\right\}$．
又$f（\frac{1}{k}）=0$，$f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
①若$f（\frac{2}{k}）≥f（\frac{1}{k}）$，即$ln2-\frac{k}{2}≥0$，所以1＜k＜2ln2，此时$f{（x）_{max}}=f（\frac{2}{k}）=ln2-\frac{k}{2}$，
所以$m≥ln2-\frac{k}{2}$．
②若$f（\frac{2}{k}）＜f（\frac{1}{k}）$，即$ln2-\frac{k}{2}＜0$，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）_max=0，所以m≥0
综上所述，当k≥2ln2时，m≥0；
当0＜k＜2ln2时，$m≥ln2-\frac{k}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．