Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），点H（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$）在椭圆上
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）第一象限内一点M在圆C：x²+y²=b²上，过M作圆C的切线交椭圆于P，Q两点．问：△PF₂Q的周长是否为定值，若是，求出定值，不是的话说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆的定义及两点之间的距离公式求得a的值，则b²=a²-c²=8，即可求得椭圆方程
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨PQ丨，丨PF₂丨，丨QF₂丨，利用三角形的周长公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的左焦点F₁（-1，0），H在椭圆上，
丨HF₁丨+丨HF₂丨=2a，即$\sqrt{{3}^{2}+\frac{40}{9}}$+$\sqrt{1+\frac{40}{9}}$=6，
则a=3，c=1，b²=a²-c²=8，
∴椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（Ⅰ）设PQ方程，y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则PQ与C相切，
$\frac{m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，m=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8+9k²）x²+18kmx+9m²-72=0，
x₁+x₂=-$\frac{18km}{8+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{8+9{k}^{2}}$，
丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4×9×8（4{k}^{2}-{m}^{2}+8）}{（8+9{k}^{2}）^{2}}}$=-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$，
丨PF₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-9）^{2}}{9}}$=3-$\frac{1}{3}$x₁，
同理：丨QF₂丨=3-$\frac{1}{3}$x₂，
∴△PF₂Q的周长S=丨PQ丨+丨PF₂丨+丨QF₂丨=6-$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）-$\frac{6km}{8+9{k}^{2}}$=6，
∴△PF₂Q的周长6．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．