Question

11．如图，已知四棱锥P-ABCD是边长为1的正方形，PB=PD=$\sqrt{5}$，PC=2，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求证：不论点E在何位置，都有BD⊥AE；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求直线AE与平面BDE所成角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点C为原点，CD，CB，CP，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P90，0，2，设E（0，0，a），由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}=0$知DB⊥AE．
（Ⅱ）求出设平面DBE的法向量，设直线AE与平面BDE所成角的为θ，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．即可．
（Ⅲ）求出平面ADE和平面ABE的法向量，利用向量夹角公式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵在△PBC中，PB=$\sqrt{5}$，PC=2，BC=1，
∴PC²+BC²=PB²．∴PC⊥BC．
同理PC⊥DC．∴PC⊥面ABCD．
如图以点C为原点，CD，CB，CP，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P90，0，2）∴$\overrightarrow{BD}=（1，-1，0）$．
设E（0，0，a），则$\overrightarrow{AE}=（-1，-1，a）$，
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}=0$，∴DB⊥AE．
（Ⅱ）$\overrightarrow{BD}=（1，-1，0）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-1，a），\overrightarrow{PA}=（1，1，-2）$．
设平面DBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BD}={x}_{1}-{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=-{y}_{1}+a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，\frac{1}{a}）$．
∵PA∥面BDE，∴$PA⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{n}_{1}}=2-\frac{2}{a}=0$，解得a=1．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1），\overrightarrow{AE}=（-1，-1，1）$，
设直线AE与平面BDE所成角的为θ
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．
直线AE与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．．
（Ⅲ）$\overrightarrow{DA}=（0，1，0），\overrightarrow{DE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BA}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-1，1）$．
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}），\overrightarrow{{n}_{3}}=（{x}_{3}，{y}_{3}，{z}_{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DA}={y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DE}=-{x}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，1）$，
同理可得$\overrightarrow{{n}_{3}}=（0，1，1）$．
设二面角D-AE-B的大小为β，|cosβ|=$\frac{1}{2}$，
由图可知β为钝角，二面角D-AE-B的大小为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了线线垂直的判定，向量法求解空间角，属于中档题．