Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k₁，k₂，且（k₁+1）（k₂+1）=-1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|FM|，|OM|，利用△OFM（O为原点）的面积为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$及过点A（1，1），建立方程组，即可求双曲线的方程；
（Ⅱ）设BC的方程为y-1=k（x-1）+m，双曲线方程可化为2[（x-1）+1]²-[（y-1）+1]²=1，利用k₁，k₂是关于K的方程（m+2）K²-（4+2k）K+4k-2m=0的两个根，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：双曲线渐近线方程为bx±ay=0，
焦点可设为F（c，0），其中$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，则$|{FM}|=\frac{{|{bc±a•0}|}}{{\sqrt{{b^2}+{a^2}}}}=\frac{bc}{c}=b，|{OM}|=\sqrt{{c^2}-{b^2}}=a$，
故△OFM的面积为$\frac{ab}{2}$．…（3分）
由条件可知求得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\ \frac{ab}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\end{array}\right.$求得${a^2}=\frac{1}{2}，{b^2}=1$，
故双曲线的方程为2x²-y²=1．…（5分）
（Ⅱ）证明：设BC的方程为y-1=k（x-1）+m，
双曲线方程可化为2[（x-1）+1]²-[（y-1）+1]²=1，
即2（x-1）²-（y-1）²+4（x-1）-2（y-1）=0，
因此2m（x-1）²-m（y-1）²+4（x-1）[（y-1）-k（x-1）]-2（y-1）[（y-1）-k（x-1）]=0，
（2m-4k）（x-1）²-（m+2）（y-1）²+（4+2k）（x-1）（y-1）=0，$（{m+2}）{（{\frac{y-1}{x-1}}）^2}-（{4+2k}）•\frac{y-1}{x-1}+4k-2m=0$．
因此k₁，k₂是关于K的方程（m+2）K²-（4+2k）K+4k-2m=0的两个根．…（9分）
${k_1}+{k_2}=\frac{4+2k}{m+2}，{k_1}•{k_2}=\frac{4k-2m}{m+2}$．
由条件可知$-2={k_1}+{k_2}+{k_1}{k_2}=\frac{4+2k}{m+2}+\frac{4k-2m}{m+2}=\frac{6k+4-2m}{m+2}?k=-\frac{4}{3}$，
故直线BC的斜率为定值$-\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题．