Question

1．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x_n}满足x_n+1=x_n-$\frac{f（{x}_{n}）}{f′（{x}_{n}）}$，设a_n=ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$，若a₁=$\frac{1}{2}$，x_n＞2，则数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-2（n∈N*）．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）=a（x-1）（x-2），求出导数，可得x_n+1=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，求得a_n+1=ln$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}$=2ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$=2a_n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．

解答 解：函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，
可得f（x）=a（x-1）（x-2），
f′（x）=a（2x-3），
则x_n+1=x_n-$\frac{f（{x}_{n}）}{f′（{x}_{n}）}$=x_n-$\frac{a（{x}_{n}-1）（{x}_{n}-2）}{a（2{x}_{n}-3）}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，
由a₁=$\frac{1}{2}$，x_n＞2，
则a_n+1=ln$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}$=ln$\frac{（{x}_{n}-2）^{2}}{（{x}_{n}-1）^{2}}$=2ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$=2a_n，
即有a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2．
故答案为：2^n-2（n∈N*）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用化简变形，以及等比数列的定义和通项公式，考查二次函数的解析式的求法和零点的定义，考查运算能力，属于中档题．