Question

15．如图，已知四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．
（1）求证：CM∥平面ABEF；
（2）求三棱锥D-ACF的体积．

Answer 1

分析 （1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，推导出四边形BCMO是平行四边形，由此能证明CM∥平面ABEF．
向量法：以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面ABEF．
（2）三棱锥D-ACF的体积V_D-ACF=V_F-ACD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，
∵ABEF是正方形，∴O是AE中点，
∵M是DE中点，∴OM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∵ABCD是直角梯形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴BC$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴BC$\underset{∥}{=}$OM，
∴四边形BCMO是平行四边形，
∴BO∥CM，
∵BO?平面ABEF，CM?平面ABEF，
∴CM∥平面ABEF．
（1）向量法：∵四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，
平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．
∴以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，2，0），E（1，0，1），M（$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），C（0，1，1），
$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}$），
平面ABEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，CM?平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．
解：（2）∵点F到平面ACD的距离AF=1，
S_△ACD=S_梯形ABCD-S_△ABC=$\frac{1}{2}（1+2）×1-\frac{1}{2}×1×1$=1，
∴三棱锥D-ACF的体积：
V_D-ACF=V_F-ACD=$\frac{1}{3}×AF×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．